Chap.6 Condensateurs et dipôles RC

 

Introduction

 

On attribue à Thalès de Millet (plus de 500 ans avant J-C.) la découverte des propriétés électrostatiques de l'ambre jaune, obtenue par fossilisation de résine de conifère. Les grecs appelaient cette ambre "êlectron" d'où provient le mot "électricité".

En 1733, le chimiste français, Charles François de Cisternay du Fay découvre qu'il existe 2 sortes d'électricité. Celle qui provient de l'ambre (l'électricité résineuse) et celle qui provient du verre (l'électricité vitreuse). Il utilise l'expression de fluides électriques pour qualifier leur comportement.

En 1745, les physiciens allemand Ewald Georg von Kleist et hollandais Pieter van Musschenbroek, découvrent de façon indépendante que l'on peut stocker l'électricité grâce à une bouteille contenant (à l'intérieur) des morceaux de métal et entourée (à l'extérieur) d'une feuille métallique. Cette bouteille sera appelée bouteille de Leyde. C'est le premier condensateur réalisé de main d'homme.

La bouteille de Leyde est constituée de 2 parties métalliques (l'une à l'intérieur et l'autre à l'extérieur) séparées par le verre qui joue le rôle d'isolant.

Sur le site Wikipédia : bouteille de Leyde et condensateur.

 

1. Le condensateur

 

1.a. Description

Un condensateur est un dipôle constitué de 2 armatures métalliques séparées par un isolant.

Voici le symbole représentant un condensateur dont les armatures métalliques sont reliées aux points A et B :

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L'expérience montre que l'énergie électrique pouvant être stockée augmente si la surface des armatures augmente et si leur distance diminue. Pour constituer un bon condensateur, il faut donc un matériau qui soit à la fois fin et isolant.

L'isolant (appelé le diélectrique) peut être de l'air, du verre, du papier paraffiné ou sulfurisé, du mica, des céramiques ou des polymères.

Pour réduire l'encombrement, on peut utiliser 2 feuilles métalliques (en aluminium) séparées par du papier, et enroulées sur elles-mêmes.

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Armatures et isolants d'un condensateur démonté

 

Certains condensateurs sont polarisés (ils ont une borne positive et une borne négative). Ils sont généralement d'origine électrolytiques et risquent de claquer si on leur applique une tension négative. Ces condensateurs sont repérables par la gorge (étranglement) à une extrémité (borne positive) et par les bornes marquées + et -.

Beaucoup de condensateurs ne sont pas polarisés.

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2 condensateurs polarisés	boite de condensateurs non polarisés

 

1.b. Relation charge-intensité

La charge q de l’armature A d’un condensateur est reliée à l’intensité i du courant qui arrive au point A, par la relation :

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. . . . . . . . . . i = `(dq)/(dt)` . . . . . (1)

 

 

. . . . . Remarques :

. . . . . Si la valeur de l'intensité du courant est positive, le condensateur se charge, donc la valeur de la charge q présente sur l'armature A augmente (donc `(dq)/(dt)` est positif).

. . . . . Si la valeur de l'intensité du courant est négative, le condensateur se décharge, donc la valeur de la charge q présente sur l'armature A diminue (donc `(dq)/(dt)` est négatif).

. . . . . Quand la valeur de la charge présente sur l'armature A est q, la valeur de la charge présente sur l'armature B est - q, car dans un circuit électrique, la somme des charges est nulle.

 

1.c. Relation charge-tension

La charge q de l’armature A d’un condensateur est reliée à la tension u_c (ou u_AB) aux bornes du condensateur, par la relation :

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. . . . . . . . . . q = C . u_c . . . . . (2)

 

 

1.d. Capacité

On appelle capacité C, la constante de proportionnalité entre la charge et la tension d’un condensateur.

. . . . . unités :

. . . . . L'unité de la capacité d'un condensateur est le farad (F).

. . . . . 1 F = 1 C.V^-1 (1 coulomb par volt).

. . . . . Le farad est une unité très grande. Dans la pratique, les condensateurs ont le plus souvent des capacités mesurées à l'aide de ses sous-multiples : le mF, le µF, le nF et le pF.

 

1.e. Energie

L’expérience montre que l'énergie emmagasinée dans un condensateur est proportionnelle à la capacité C du condensateur, et au carré de sa tension u_c.

L’énergie E emmagasinée dans un condensateur de capacité C, dont la tension est u_c, a pour valeur :

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. . . . . . . . . . E = ½ C . u_c² . . . . . (3)

 

1.f. Applications

On distingue principalement 3 domaines d'application pour les condensateurs :

. . . . . - le stockage de l'énergie (par exemple pour alimenter le flash d'un appareil photo) ;

. . . . . - le filtrage des intensités variables (par exemple pour éliminer ou sélectionner des signaux de fréquence donnée) ;

. . . . . - la stabilisation d'une tension électrique (par exemple dans les alimentations stabilisées en tension).

 

2. Le dipôle RC

 

2.a. La charge

Considérons le circuit suivant (circuit 1) :

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A t=0, le condensateur étant déchargé, on ferme l’interrupteur dans le circuit 1.

Le dipôle RC est soumis à un échelon de tension et le condensateur se charge progressivement.

Si on enregistre les tensions u, u_C et u_R, on obtient les courbes suivantes :

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Ecrivons l’additivité des tensions pour le circuit 1 (lorsque l'interrupteur K est fermé) :

E = u = u_C + u_R

. . . . . Or, d'après la loi d'Ohm : . . u_R = R . i

. . . . . Et, d'après la relation charge-intensité : . . i = `(dq)/(dt)`

. . . . . Enfin, d'après la relation charge-tension : . . q = C . u_c

. . . . . . . . . D'où : . . u_R = R . i = R . `(dq)/(dt)` = R . `(d(C*u_C))/(dt)` = R C . `(du_C)/(dt)`

. . . . . D'où la relation :

E = u_C + R C . `(du_C)/(dt)` . . . . . (4)

L'équation (4) est une équation différentielle d'ordre 1.

La résolution d'une équation différentielle, étant un exercice mathématique, nous vérifierons simplement que la solution proposée (5) vérifie bien l'équation (4).

La solution de l'équation (4) est :

u_C = E ( 1 - `e^{-(t/(RC))}` ) . . . . . (5)

Vérification :

. . . . . Si : . . u_C = E ( 1 - `e^{-(t/(RC))}` )

. . . . . Alors : . . `(du_C)/(dt)` = - E . ( - `1/(RC)` ) . `e^{-(t/(RC))}` = `E/(RC)` . `e^{-(t/(RC))}`

. . . . . D'où : . . R C . `(du_C)/(dt)` = E . `e^{-(t/(RC))}`

. . . . . D'où : . . u_C + R C . `(du_C)/(dt)` = E ( 1 - `e^{-(t/(RC))}` ) + E . `e^{-(t/(RC))}` = E.

. . . . . La tension donnée à l'équation (5) est donc bien solution de l'équation différentielle (4).

Cette équation exprime que la tension u_C tend asymptotiquement vers la valeur E.

 

Remarque :

. . . . . D'après la relation charge-tension, la charge q de l’armature A d’un condensateur est telle que :

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. . . . . . . . . . q = C . u_c . . . . . (2)

. . . . . D'où :

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. . . . . . . . . . u_c = `q/C` . . . . . .

. . . . . Or la relation (4) écrite précédemment donne :

E = u_C + R C . `(du_C)/(dt)` . . . . . (4)

. . . . . En remplaçant u_c = `q/C` dans la relation (4), on obtient :

E = `q/C` + R C . `(d(q/C))/(dt)` . . . . . (4')

. . . . . D'où :

E . C = q + R C . `(dq)/(dt)` . . . . . (4')

L'équation (4') est une autre écriture de cette équation différentielle d'ordre 1.

Dans l'équation (4) la variable est la tension u_c.

Dans l'équation (4') la variable est la charge q.

. . . . . Puisque des variables q et u_c sont proportionnelles d'après la relation charge-tension, il est logique qu'elles permettent d'écrire, l'une et l'autre, une équation différentielle du même type.

 

2.b. La décharge

Considérons le circuit de décharge (circuit 2) :

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A t=0, le condensateur étant chargé, on ferme l’interrupteur dans le circuit 2.

Le dipôle RC est soumis à un échelon descendant de tension et le condensateur se décharge progressivement.

Si on enregistre les tensions u, u_C et u_R, on obtient les courbes suivantes :

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Ecrivons l’additivité des tensions pour le circuit 2 (lorsque l'interrupteur K est fermé) :

u = u_C + u_R = 0

. . . . . Or, d'après la loi d'Ohm : . . u_R = R . i

. . . . . Et, d'après la relation charge-intensité : . . i = `(dq)/(dt)`

. . . . . Enfin, d'après la relation charge-tension : . . q = C . u_c

. . . . . . . . . D'où : . . u_R = R . i = R . `(dq)/(dt)` = R . `(d(C*u_C))/(dt)` = R C . `(du_C)/(dt)`

. . . . . D'où la relation :

u_C + R C . `(du_C)/(dt)` = 0 . . . . . (4')

L'équation (4') est une équation différentielle d'ordre 1.

La solution de l'équation (4') est :

u_C = E . `e^{-(t/(RC))}` . . . . . (5')

Vérification :

. . . . . . . . . Si : . . u_C = E . `e^{-(t/(RC))}`

. . . . . . . . . Alors : . . `(du_C)/(dt)` = E . ( - `1/(RC)` ) . `e^{-(t/(RC))}` = - `E/(RC)` . `e^{-(t/(RC))}`

. . . . . . . . . D'où : . . R C . `(du_C)/(dt)` = - E . `e^{-(t/(RC))}`

. . . . . . . . . D'où : . . u_C + R C . `(du_C)/(dt)` = E . `e^{-(t/(RC))}` - E . `e^{-(t/(RC))}` = 0.

. . . . . . . . . La tension donnée à l'équation (5') est donc bien solution de l'équation différentielle (4').

Cette équation exprime que la tension u_C tend asymptotiquement vers la valeur 0.

 

2.c. La constante de temps `τ`

D'une part, les expériences faites au cours du T.P.6 montrent que la charge et la décharge ont une durée proportionnelle aux valeurs de R et C.

D'autre part, les équations (5) et (5') font apparaître le produit RC.

Cherchons donc la dimension de ce produit.

Notion de dimension

. . . . . La dimension d'une grandeur G est notée [G].

. . . . . Les grandeurs étudiées en physique en TS s'expriment selon 5 dimensions fondamentales :

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Grandeurs	Dimensions
longueur	L
masse	M
temps	T
intensité du courant	I
tension électrique	V

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Dimension de R

. . . . . D'après la loi d'Ohm : . . u_R = R . i

. . . . . D'où : . . [R] = [`u/i`] = `([u])/([i])` = `V/I` = V . I^-1.

Dimension de C

. . . . . D'après la relation charge-tension : . . q = C . u_C

. . . . . D'où : . . [C] = [`q/u`] = `([q])/([u])`

. . . . . . . . Or, d'après la relation charge-intensité : . . i = `(dq)/(dt)`

. . . . . . . . D'où : . . [i] = [`q/t`] = `([q])/([t])`

. . . . . . . . D'où : . . [q] = [i] . [t] = I . T

. . . . . D'où : . . [C] = `([q])/([u])` = `(I * T)/V` = I . T . V^-1.

Dimension du produit RC

. . . . . [RC] = [R] . [C]

. . . . . D'où : . . [RC] = ( V . I^-1 ) . ( I . T . V^-1 ) = T

Le produit RC est donc égal à une durée puisque sa dimension est celle d'un temps.

 

Définition : On appelle constante de temps `τ` du dipôle RC, le produit RC.

`τ` = RC . . . . . (6)

 

2.d. Mesure de la valeur de la constante de temps `τ`

La charge et la décharge d’un condensateur à travers un conducteur ohmique de résistance R, sont des phénomènes transitoires de constante `τ` = RC.

Les expériences faites au cours du T.P.6 ont montré que la constante de temps peut être connue de 3 manières différentes :

. . . . . - `τ` peut être connu par la modélisation de la courbe u_C(t) et sa comparaison avec la courbe expérimentale ;

. . . . . - `τ` est le temps pour lequel la tangente à l'origine de la courbe u_C(t) coupe l'asymptote de cette courbe ;

. . . . . - `τ` est le temps pour lequel 63 % de la charge (ou de la décharge) de u_C(t) est réalisé.

Remarques :

. . . . . - En T.P., la modélisation de la courbe u_C(t) et sa comparaison avec la courbe expérimentale, permet de déterminer avec précision la valeur de `τ`. Cette méthode est très efficace pour trouver la valeur de `τ`, mais elle n'est utilisable que si on peut tracer la courbe avec un ordinateur.

. . . . . - Lors d'un exercice, si la courbe u_C(t) est représentée, la valeur de `τ` peut être déterminée soit par le tracé de la tangente à l'origine, soit par la méthode des 63 %. L'expérience montre que le tracé de la tangente à l'origine de la courbe u_C(t) donne des résultats un peu aléatoires parce qu'il n'est pas toujours aisé de tracer avec précision la tangente exacte.

. . . . . - Lors d'un exercice, la recherche de la durée au bout de laquelle 63 % de la charge (ou de la décharge) de u_C(t) est réalisée donne souvent une bonne valeur de `τ`. Cette méthode sera privilégiée pour les exercices.

. . . . . . . . Justification théorique :

. . . . . . . . . . . . Lorsque t = RC, on a : . .(1-`e^{-(t/(RC))}`) = (1-e^-1) = 0,63

. . . . . . . . . . . . Donc, pendant la charge, à l'instant t = RC, on a : . .u_C(t) = E . (1-e^-1) = 0,63 E (soit 63 % de E).

. . . . . . . . . . . . Et, pendant la décharge, à l'instant t = RC, on a : . .u_C(t) = E . e^-1 = 0,37 E (s'il reste 37% de la tension initiale, cela signifie que 63 % de la décharge est réalisée).

. . . . . - Lors d'un exercice, si la courbe u_C(t) est représentée, l'ordre de grandeur de la valeur de `τ` peut être rapidement déterminé en constatant qu'à t = 5 `τ`, 99 % de la charge ou de la décharge est réalisée.

. . . . . . . . Justification théorique :

. . . . . . . . . . . . Lorsque t = 5 RC, on a : . .(1-`e^{-(t/(RC))}`) = (1-e^-5) = 0,99

. . . . . . . . . . . . Donc, pendant la charge, à l'instant t = 5 RC, on a : . .u_C(t) = E . (1-e^-5) = 0,99 E (soit 99 % de E).

. . . . . . . . . . . . Et, pendant la décharge, à l'instant t = 5 RC, on a : . .u_C(t) = E . e^-5 = 0,01 E (99 % de la décharge est réalisée).